Он допевает последнюю свою песенку В.И.даль начало - конец

Допевать, допеть: петь что до конца или до чего-либо. -ся, быть допеваему; петь до каких последствий.

Допелся до хрипоты. Своего допелся, достиг настоятельными убежденьями. Не всякая песня до конца допевается.

Дотеванье: длительное,  допетие: окончательное. допев: действие по глаголу.

Допевчивый: охочий допевать, несмотря на помехи.

В.И.даль Толковый словарь живого великорусского языка